Randströmungstheorie

Randströmungstheorie ist eine zentrale Theorie der Fluiddynamik, die die Strömung eines Fluids in der Nähe einer festen Oberfläche beschreibt. Sie teilt den Fluss in eine dünne Randströmung, in der Viskosität und Wandreibung dominieren, und in eine äußere Region, die nahezu viskositätsfrei bleibt. Die Randströmung erlaubt es, die Navier-Stokes-Gleichungen im Randbereich durch vereinfachte Gleichungen zu ersetzen, wodurch Hautreibung und Wärmeübertragung besser erklärbar werden.

Die Randströmungstheorie wurde 1904 von Ludwig Prandtl eingeführt, um Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen zu beschreiben. Eine ikonische Lösung ist die Blasius-Lösung für eine flache Platte mit konstantem Druck. Weiterentwicklungen führten die Falkner–Skan-Gleichung ein, die Druckgradienten berücksichtigt, sowie die von-Kármán-Integralmethode zur Bestimmung von Hautwiderständen und Wandtemperaturen.

Zentrale Gleichungen sind die Kontinuitätsgleichung ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 und die Impulsbilanz in x-Richtung: u ∂u/∂x + v ∂u/∂y = -(1/ρ) ∂p/∂x + ν ∂^2u/∂y^2, wobei p der äußere Druck ist. Der Randbereich hat typischerweise eine Dicke δ, die mit x wächst. Der Druck in der Randströmung entspricht dem äußeren Druck des invisciden Flusses, sodass p = p∞(x).

Anwendungen finden sich in der Aerodynamik, beim Entwurf von Tragflächen und in der Wärmeübertragung an Oberflächen. Die Theorie gilt vor allem für laminare Randströmungen bei hohen Reynolds-Zahlen; sie bricht bei Strömungstrennung zusammen und muss dann durch ergänzende Modelle für turbulente Grenzschichten ersetzt oder angepasst werden.

Sie bildet die Grundlage für weiterentwickelte Methoden, darunter Blasius- und Falkner–Skan-Lösungen, die Integralansätze von von Kármán sowie moderne numerische Ansätze in der Computational Fluid Dynamics.