Quotiëntvorming

Quotiëntvorming is een constructie in de wiskunde waarbij een nieuwe structuur ontstaat door elementen die als gelijkwaardig worden beschouwd onder een gegeven equivalentierelatie te identificeren. Het resultaat is een quotiëntobject dat de bewerkingen en eigenschappen van de oorspronkelijke structuur weerspiegelt.

In de algebra geldt dit principe het sterkst: gegeven een groep G en een normaal subgroep N ontstaat de quotiëntgroep G/N, De elementen zijn de cosets gN en de groepoperatie luidt (gN)(hN) = (gh)N. De afgezette kaart π: G → G/N, g ↦ gN, is de projectie; het kernel van π is N. Een soortgelijke constructie bestaat voor ringen met een ideaal I, wat leidt tot de quotiëntring R/I; voor vectorruimten en modules geldt V/W en M/N als respectievelijke quotienten, waarbij W respectievelijk N subobjecten zijn. In alle gevallen geldt het universele eigenschap: elke homomorfisme van de oorspronkelijke structuur dat constant is op de equivalentieklassen, factoriseert uniek via de quotiëntprojectie.

In de topologie wordt een quotiëntruimte X/~ gevormd door de verzameling van equivalentieklassen met de quotiënttopologie: een subset U van X/~ is open als q^{-1}(U) open is in X, waarbij q: X → X/~ de projectie is. Quotientmaps zijn surjectieve continue functies die de juiste universaliteit bevatten: continue functies die constant zijn op de klassen drukken af via een unieke continue kaart.

Voorbeelden: Z/nZ is de quotiëntgroep van de gehele getallen door het normale subgroep nZ; R[x]/I is de quotiëntring door een ideaal I; in vectorruimten V/W met W een onderruimte; topologisch gezien levert het samenkleven van de eindpunten van een interval [0,1] de cirkel S^1 op.