Quadráticas

Quadráticas é o termo utilizado para polinômios do segundo grau ou para as equações associadas a esses polinômios. Em geral, uma função quadrática tem a forma y = ax^2 + bx + c, com a ≠ 0, gerando uma parábola no plano cartesiano. Quando tratada como equação, a forma mais comum é ax^2 + bx + c = 0.

A forma geral permite caracterizar as soluções por meio do discriminante Δ = b^2 - 4ac. O valor de Δ determina o tipo de raízes: se Δ > 0, há duas raízes reais distintas; se Δ = 0, existe uma raiz real dupla; se Δ < 0, as raízes são complexas conjugadas. A solução, quando a ≠ 0, é dada pela fórmula de Bhaskara: x = [-b ± √Δ] / (2a). Caso a=0, a equação reduz-se a bx + c = 0, com solução x = -c/b (quando b ≠ 0).

Vértice e gráfico: o gráfico é uma parábola com vértice em x = -b/(2a) e, substituindo na função, y_v = f(-b/(2a)) = c - b^2/(4a). O eixo de simetria é x = -b/(2a). A parábola abre para cima se a > 0 e para baixo se a < 0. O intercepto em y é (0, c) e os interceptos em x são as raízes da equação ax^2 + bx + c = 0.

Aplicações e métodos: além da resolução por fatoração, pode-se completar o quadrado ou empregar a fórmula de Bhaskara; quando Δ não é um quadrado perfeito, utilizam-se métodos numéricos. Quadráticas aparecem em física, engenharia, economia e modelagem de trajetórias.

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