Pääarvo

Pääarvo, eller principal value, är ett begrepp inom real- och komplex analys som används för att tilldela ett ändligt värde till vissa impropera integraler eller uttryck som annars är undefined på grund av singulariteter eller oändliga gränser. Begreppet är särskilt centralt i hur man hanterar integraler som inte konvergerar i vanligt ordning men som kan fås att beskrivas genom en särskild gränsvärdesprocess.

Cauchy-principalvärde (för finite intervall) definieras som PV ∫_a^b f(x) dx = lim_{ε→0+} [∫_a^{c-ε} f(x) dx + ∫_{c+ε}^{b} f(x) dx], där f har en enkel singularitet vid c i intervallet (a,b) och vänster- och högergränserna går ihop i det övriga området. För integraler över oändliga intervall används PV ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = lim_{A→∞} ∫_{-A}^{A} f(x) dx, under förutsättning att den symmetriska gränsen existerar. Pääarvo fungerar som en regelbundenreglering: den kan existera även när den vanliga impropera integralens värde inte gör det.

Exempel: PV ∫_{-1}^{1} (1/x) dx = 0, eftersom ∫_{-1}^{-ε} 1/x dx + ∫_{ε}^{1} 1/x dx = ln ε - ln ε, vilket går mot 0 när ε→0.

Inom komplex analys uppträder huvudvärdet när man integrerar längs realaxeln med poler på axeln, och det kopplas till contourintegral och residueteori. Pääarv används också i samband med Sokhotski–Plemelj-formlerna i distributionsteori.

Begränsningar: existens och värde för huvudvärdet beror på den valda gränsvägen och på funktionen; det är inte alltid likvärdigt med någon konventionell improper integral och är inte en universell ersättning för konvergens. Begreppet används brett inom matematik, fysik och teknik för att hantera singulariteter i integraler.