Potenzialfunktionen

Potenzialfunktionen sind Skalarfelder, deren Werte genutzt werden, um dynamische Größen abzuleiten. Sie fassen physikalische, mathematische oder algorithmische Informationen in einer einzigen Funktion zusammen, wobei oft Ableitung oder Unterschied zur Bestimmung von Kräften, Energien oder Aufwand dient.

In der Physik liefern Potenzialfunktionen Φ Größen, aus denen Kräfte durch F = -∇Φ hervorgehen. Elektromagnetische und gravitative Felder lassen sich über Potenziale beschreiben. Die daraus abgeleitete Potenzialenergie U spiegelt den Aufwand wider, ein System zu verändern.

In der Potenzialtheorie der Mathematik bezeichnet Potenzial eine Funktion, die Lösungen der Laplace- bzw. Poissonschen Gleichung liefert. Sie beschreibt Felder wie das Gravitations- oder das elektrostatische Feld; Beispiele sind der Newtonsche Potenzialoperator oder Greensche Funktionen.

In der Optimierung und Analyse dienen Potenzialfunktionen als Hilfsgrößen zur Verhaltensanalyse von Systemen. Lyapunov-Funktionen sind Potenzialfunktionen, die Abnahmen entlang Trajektorien garantieren und Stabilität beweisen. In der amortisierten Analyse speichert das Potenzial künftige Kosten.

In Spieltheorie und Algorithmik spielen Potenzialfunktionen eine ähnliche Rolle: Potenzialspiele besitzen eine Funktion, deren Veränderung durch einen Strategiewechsel eines Spielers die Veränderung der Beute widerspiegelt. Dadurch lassen sich Existenz von Gleichgewichten und Konvergenz nachweisen.

Beispiele reichen von der Potenzialenergie in der Mechanik über elektrostatisches Potenzial bis zu energiebasierten Modellen in der künstlichen Intelligenz.