Potenzgesetze

Potenzgesetze sind grundlegende Regeln der Algebra, die das Manövrieren mit Potenzen erleichtern. Sie gelten vor allem für eine nicht verschwindende Basis und ganzzahlige Exponenten; bei reellen oder rationalen Exponenten gelten zusätzliche Einschränkungen.

Die Produktregel besagt, dass sich Potenzen mit derselben Basis addieren: a^m · a^n = a^(m+n) für a ≠ 0 und ganze Exponenten m, n. Die Quotientenregel lautet: a^m / a^n = a^(m−n) für a ≠ 0. Die Potenzregel für Potenzen lautet: (a^m)^n = a^(m·n).

Für das Produkt zweier Basen gilt: (ab)^n = a^n · b^n, und entsprechend für Brüche: (a/b)^n = a^n / b^n, wobei b ≠ 0 und n ganzzahlig ist.

Negative Exponenten lassen sich umschreiben als Kehrwerte: a^(−n) = 1 / a^n, vorausgesetzt a ≠ 0. Ein Basenwechsel bei Exponenten ungleich null führt zur Nullregel: a^0 = 1, für a ≠ 0.

Bei rationalen Exponenten erweitert sich die Bedeutung: Für p/q mit q > 0 gilt a^(p/q) = (a^p)^(1/q) = q-te Wurzel von a^p; in den reellen Zahlen ist dies im Allgemeinen definiert, wenn a ≥ 0 ist. Bei negativen Basen und nicht ganzzahligen Exponenten sind die Gesetze nicht uneingeschränkt anwendbar und gegebenenfalls komplexe Werte zu berücksichtigen.

Zusammengefasst ermöglichen die Potenzgesetze die vereinfachte Berechnung, das Verketten von Potenzen und das rationale Umformen von Ausdrücken mit Potenzen.