Potenzregel

Die Potenzregel ist eine fundamentale Regel der Differentialrechnung, die die Ableitung von Potenzen einer Funktion beschreibt. Sie gilt insbesondere für Potenzen mit konstantem Exponenten und dient als Baustein für komplexere Ableitungen.

Für eine konstante Potenz n gilt die Grundform der Regel: Die Ableitung von x^n ist n · x^{n-1}. Diese Formel ist gültig für n in den ganzen Zahlen bzw. für reelle n und alle x, bei denen x^n sinnvoll definiert ist (im Allgemeinen x ≠ 0, wenn n nicht ganzzahlig ist).

Eine verbreitete Erweiterung ist die Potenzregel mit einer inneren Funktion. Ist u(x) eine differenzierbare Funktion und n eine Konstante, gilt d/dx [u(x)^n] = n · u(x)^{n-1} · u'(x). Diese Form wird oft zusammen mit der Kettenregel verwendet, wenn der Term eine verschachtelte Struktur besitzt.

Wenn auch der Exponent von der Variablen abhängt, also f(x)^{g(x)}, bedarf es einer weitergehenden Ableitungsform. Unter der Voraussetzung, dass f(x) > 0 ist, gilt d/dx [f(x)^{g(x)}] = f(x)^{g(x)} [ g'(x)·ln f(x) + g(x)·f'(x)/f(x) ]. Diese Formel nutzt Logarithmen und ist eine Anwendung der Ketten- und Produktregel.

Anwendungsbereiche umfassen die Ableitung einfacher Polynome, Potenzfunktionen und verschachtelte Funktionen. Typische Beispiele sind d/dx x^5 = 5x^4 und die Ableitung von (2x+1)^3 = 3(2x+1)^2·2 = 6(2x+1)^2.

Hinweis zur Domäne: Für negative oder rationale Exponenten gelten je nach Basis spezifische Definitionsmengen; bei nicht positiven Basen ist Vorsicht geboten.