Produktregel

Die Produktregel ist eine zentrale Regel der Differentialrechnung und beschreibt die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen f und g. Für jeden Punkt x im Definitionsbereich gilt: Der Ableitung des Produkts fg ist die Summe der Ableitungen von Faktor f multipliziert mit dem anderen Faktor g und von Faktor g multipliziert mit dem anderen Faktor f, also (fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x). In der Kurzschreibweise mit d/dx: d/dx [f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

Intuitiv bedeutet die Regel, dass beim Ändern von x sowohl der eine als auch der andere Faktor die Produktbildung beeinflusst. Die Änderung des Produkts ergibt sich aus der Änderung von f bei gleichzeitig bestehendem g plus der Änderung von g bei gleichzeitig bestehendem f.

Beispiele verdeutlichen die Anwendung. Zum Beispiel ist d/dx [x^2 sin x] = (d/dx x^2) sin x + x^2 (d/dx sin x) = 2x sin x + x^2 cos x.

Verallgemeinerung: Für das Produkt von n Funktionen f_1, f_2, ..., f_n gilt der Leibniz-Satz: Der Ableitung des Produkts ist die Summe der Produkte, in denen genau eine Funktion abgeleitet wird und die übrigen Funktionen unverändert bleiben. Formal: (f_1 f_2 ... f_n)'(x) = Σ_{k=1}^n f_1(x) ... f_{k-1}(x) f_k'(x) f_{k+1}(x) ... f_n(x).

Anwendungen finden sich in Physik, Technik, Ökonomie und vieler anderer Bereiche, wo sich Größen durch Multiplikation zusammensetzen. Historisch wird die Produktregel oft dem Leibniz zugeschrieben, der sie im 17. Jahrhundert entdeckte. Sie steht in engem Zusammenhang mit dem Satz über die Ableitung von Verhältnissen (Quotientenregel) und der Kettenregel.