Potentialfunktionen

Potentialfunktionen bezeichnet in Mathematik und Anwendungsgebieten eine skalare Funktion, die den Zustand eines Systems abbildet und deren Änderung durch lokale Entscheidungen oder Bewegungen bestimmt wird. Sie dienen als Maßstab, mit dem globales Verhalten aus lokalen Interaktionen ablesbar wird.

In der Spieltheorie treten Potentialfunktionen häufig in Potenzialspielen auf. Ein Spiel besitzt eine Potentialfunktion Φ, so dass die Änderung von Φ bei einer einseitigen Strategieänderung eines Spielers mit der Änderung seiner Auszahlung übereinstimmt. Es lässt sich zwischen exakten und ordinalen Potenzialfunktionen unterscheiden: Bei exakten Funktionen entspricht die Veränderung von Φ exakt der Auszahlung, bei ordinalen Funktionen genügt, dass die Richtung der Änderung übereinstimmt. Potenzialfunktionen erleichtern die Analyse von Nash-Gleichgewichten und Lernprozessen, da viele dynamische Abläufe gegen Optima von Φ konvergieren.

In der Optimierung und in der Netzwerktheorie erscheinen Potentialfunktionen als Energiefunktionen oder Kostenfunktionen. Bei Congestion Games (Stau-Spielen) entspricht das Potenzial der Summe der integrierten Kostenfunktionen über alle Ressourcen; die Minimierung dieses Potenzials führt zu stabilen Flussverteilungen.

In der Systemtheorie dienen Potentialfunktionen oft als Lyapunov-Funktionen, die zeigen, dass ein Systemverhalten sich stabilisiert, weil das Potenzial mit der Zeit nicht zunimmt.

Außerhalb der Mathematik begegnet man dem Begriff auch in der Physik für Potenzialenergien, deren Gradient Kräfte erzeugt. Potentialfunktionen sind somit vielseitige Werkzeuge zur Beschreibung dezentraler Systeme durch ein einzelnes Skalarmaß.