Potentialfunktion

Potentialfunktion, oft einfach Potenzial genannt, bezeichnet in Mathematik und Physik eine skalare Funktion, deren Gradient ein Vektorfeld beschreibt oder deren negative Gradient die Kräfte eines konservativen Systems liefert. In einem konservativen Vektorfeld F gilt F = -∇φ, wobei φ die Potenzialfunktion ist. Die Arbeit, die von F zwischen zwei Punkten verrichtet wird, hängt nur von den Endpunkten ab und entspricht φ(x_end) − φ(x_start). In einer einfach zusammenhängenden Region existiert eine Potenzialfunktion genau dann, wenn das Feld konservativ ist, äquivalent dazu, dass die Zirkulation über jeden geschlossenen Weg verschwindet (curl F = 0); das Potenzial ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Beispiele: In der Mechanik ist die potenzielle Energie ein Beispiel für φ, etwa das Gravitationspotenzial φ = mgh oder das elektrostatische Potenzial φ = kq/r. Das elektrische Potenzial beschreibt die Arbeit pro Ladung, die gegen das Feld verrichtet wird; seine Gradient ergibt das Feld E = −∇φ.

In der Optimierung und Spieltheorie dient eine Potenzialfunktion als Skalargröße, deren Veränderung durch eine einseitige Strategieänderung eines Akteurs mit der Veränderung des jeweiligen Payoffs übereinstimmt. Potenzialfunktionen ermöglichen die Analyse von Konvergenz, Gleichgewicht und Stabilität.

Anwendungen finden sich in Physik, Mechanik, Robotik, Energiesystemen, Lyapunov-Analysen und potenzialbasierten Navigationsalgorithmen.