Plausibilitätsfunktion

Plausibilitätsfunktion ist ein Begriff aus der statistischen Inferenz, der die Plausibilität eines Parameterwerts θ given die beobachteten Daten x misst. Im Rahmen mancher inferentieller Modelle wird sie konstruiert, um eine eindeutige Zuordnung von Plausibilität zu jedem θ zu ermöglichen und so eine Alternative zu klassischen Bayes- oder Neyman-Pearson-Ansätzen zu bieten.

Construction: Man beginnt oft mit einer Zuordnung X = a(θ, U), wobei U eine Zufallsgröße mit bekannter Verteilung ist. Für ein gegebenes x definiert man Θ_x(U) = {θ : x ∈ a(θ, U)}. Die Plausibilitätsfunktion pl_x(θ) wird dann als P_U( θ ∈ Θ_x(U) ) definiert, also die Wahrscheinlichkeit über U, dass θ zu den durch U erlaubten Parameterwerten gehört. Praktisch sagt pl_x(θ) aus, wie gut θ durch die Daten x noch plausibel ist.

Plausibilitätsregionen erhält man, indem man eine Schwelle α festlegt und Θ_α(x) = { θ : pl_x(θ) ≥ α } bildet. Unter Annahmen des Modells besitzt diese α-Plausibilitätsregion oft eine Deckungseigenschaft, d.h. P_θ0( θ0 ∈ Θ_α(X) ) ≥ 1−α, womit man vergleichbare Freistartzahlen zu Confidence-Intervallen erhält.

Beziehung zu anderen Ansätzen: Die Plausibilitätsfunktion ist eng verwandt mit Konzepten aus Dempster-Shafer-Theorie und Fiduzial- bzw. Inferentiellen Modellansätzen. Sie liefert im Gegensatz zur bayesianischen Posteriorverteilung kein subjektives Vorwissen, sondern eine Mengenauswertung der Plausibilität basierend auf dem Modell und der Zufallsstruktur U.

Anwendungen und Einschränkungen: Sie wird in der Parameterinferenz, Modellprüfung und robusten Statistikkonzepten eingesetzt. Praktisch kann die Berechnung komplex sein, und die Ergebnisse hängen stark von der gewählten Zuordnung X = a(θ, U) ab. Trotzdem bietet die Plausibilitätsfunktion eine interpretable Alternative zu herkömmlichen Inferenzmethoden.