Deckungseigenschaft

Deckungseigenschaft, übersetzt als covering property, ist ein Begriff aus der Mathematik, der sich auf die Fähigkeit bezieht, eine Menge oder einen Raum durch eine Untermenge von gegebenen Mengen abzudecken. In der Topologie wird damit häufig die Eigenschaft eines Raums bezeichnet, dass jede Überdeckung durch open Sets eine endliche Unterdeckung besitzt.

Im konkreten Sinn bedeutet die Deckungseigenschaft für einen topologischen Raum X: Jede offene Überdeckung von X besitzt eine endliche Unterdeckung. Diese Eigenschaft ist eng mit der Kompaktheit verbunden: Ein Raum hat die Deckungseigenschaft genau dann, wenn er kompakt ist (mit Bezug auf offene Überdeckungen). Umgekehrt gilt, dass eine Teilmenge A eines topologischen Raums A als kompakt gilt, wenn sie in der Unterraumtopologie die Deckungseigenschaft für offene Überdeckungen besitzt.

Es gibt relevante Varianten. In metrischen Räumen oder abstrakt topologischen Räumen wird oft der Fokus auf offene Überdeckungen gelegt; bei endlichen Mengen ist die Deckungseigenschaft automatisch erfüllt. In anderen Kontexten kann die Deckungseigenschaft auch für konkrete Famili系统en von Teilmengen definiert werden: Eine Familie von Mengen hat die Deckungseigenschaft, wenn jede Überdeckung des zugrundeliegenden Sets durch Elemente der Familie eine endliche Teilsammlung zulässt.

Beispiele: Der geschlossene Intervall [a,b] in der reellen Zahlengerade hat die Deckungseigenschaft und ist kompakt. Das gesamte reelle Linearm ist nicht kompakt und besitzt nicht die Deckungseigenschaft, da es eine offene Überdeckung ohne endliche Unterdeckung gibt.

In der Praxis dient die Deckungseigenschaft als zentrale Grundlage in Analysis, Geometrie und Funktionalanalysis, insbesondere bei Beweisen, die Endlichkeit von Unterdeckungen benötigen.