Pfadintegralformel

Pfadintegralformel bezeichnet eine Darstellung von Quantenzuständen und Übergangsamplituden als Summe über alle möglichen Pfade q(t), die eine Klasse von Anfangs- zu Endzuständen verbinden. Die Übergangamplitude von q_a zum q_b in einer Zeitspanne t_b − t_a wird formal geschrieben als K(q_b, t_b; q_a, t_a) = ∫ D[q(t)] exp(i S[q]/ħ), wobei S[q] = ∫_{t_a}^{t_b} dt L(q, q̇, t) die Action ist und L die Lagrangianfunktion beschreibt. Das Integrationsmaß D[q] ist eine formale Größe, die in konkreten Berechnungen oft regularisiert oder numerisch definiert wird.

Historisch stammt die Pfadintegralformel von Richard Feynman, der sie in den späten 1940er Jahren als Alternative zur Schrödinger- und Heisenberg-Formulierung der Quantenmechanik entwickelte. Sie betont die Idee der Quantenmechanik als Summe über alle möglichen Histories, wobei Pfade mit einer Phasenfaktor exp(i S/ħ) gewichtet werden. Im klassischen Limit dominiert der Pfad, der die Stationärbedingung δS = 0 erfüllt.

Anwendungsgebiete umfassen die Berechnung von Propagatoren in der Quantenmechanik, die Formulierung der Quantenfeldtheorie sowie Ansätze in der statistischen Mechanik über Euclidische Pfadintegrale (mit Wick-Rotation), wo die Faktorexp(-S_E/ħ) erscheint. Pfadintegrale spielen eine zentrale Rolle bei der Behandlung von Streuungsprozessen, Gauge-Theorien, Instantons und beim Aufbau von effektiven Aktionsbeschreibungen.

Mathematisch bleiben Pfadintegrale formal und erfordern Regularisierung, Renormalisierung oder spezielle Konstruktionen (z. B. Wiener Maß in bestimmten Modellen). Trotzdem dient das Pfadintegral als vielseitiges Konzept zur Verbindung von Quantenmechanik, Feldtheorie und Statistik.