PfadeBezierKurven

PfadeBezierKurven bezeichnen eine Klasse von Kurven, die in der Computergrafik, im Vektorkontext und in der Schriftgestaltung verwendet werden, um glatte Linien aus einer beschränkten Anzahl von Kontrollpunkten zu erzeugen. Die Kurvenform entsteht durch das Verhältnis der Steuerpunkte zueinander und lässt sich flexibel durch verschiedene Grade darstellen.

Mathematisch handelt es sich bei einer Bezier-Kurve n-ten Grades um eine Funktion P(t) mit t im Intervall [0,1], die durch n+1 Kontrollpunkte P0, P1, ..., Pn bestimmt ist. Eine übliche Darstellung lautet P(t) = sum_{i=0}^n B_{n,i}(t) P_i, wobei B_{n,i}(t) Bernsteinpolynome B_{n,i}(t) = binom(n,i) t^i (1−t)^{n−i} sind. Zur praktischen Berechnung wird oft der De Casteljau-Algorithmus verwendet, der eine rekursive Interpolation der Kontrollpunkte durchführt und damit P(t) exakt bestimmt.

Zu den wesentlichen Eigenschaften gehören die Konvex-Hülle-Eigenschaft (P(t) liegt im konvexen Hull der Kontrollpunkte), Affine-Invarianz (Lineare Transformationen bleiben Bezier-Kurven Bezier-Kurven) sowie die Endpunkte und Tangentenführung (P(0) = P0, P(1) = Pn, und die Ableitung am Anfang bzw. Ende hängt von den ersten bzw. letzten Kontrollpunkten ab). Der Grad der Kurve bestimmt die Glätte und die Komplexität; gerade Kubik-Bezierkurven (Grad 3) sind besonders verbreitet.

Anwendungen finden sich in Vektorgrafik und Layoutsystemen, beim Zeichen von Pfaden in Designwerkzeugen, in der Typografie sowie in CAD-/CAM-Anwendungen. Historisch wurden Bezier-Kurven von Pierre Bezier entwickelt und durch Renault in der Fahrzeugkarosserie populär gemacht; seitdem sind sie zu einem Standardwerkzeug in der digitalen Gestaltung geworden.