KubikBezierkurven

Kubik-Bezierkurven sind eine Klasse parametrischer Kurven, die in der Computergrafik und im Grafikdesign verwendet werden. Sie werden durch vier Kontrollpunkte P0, P1, P2 und P3 in R^2 oder R^3 definiert. Die Kurve wird durch B(t) = (1−t)^3 P0 + 3(1−t)^2 t P1 + 3(1−t) t^2 P2 + t^3 P3 für t im Intervall [0,1] beschrieben. Die Endpunkte der Kurve sind P0 und P3, und die Kurve liegt in der konvexen Hülle der Kontrollpunkte.

Wichtige Eigenschaften sind: Die Tangentenrichtungen an den Endpunkten ergeben sich aus B'(0) = 3 (P1 − P0) und B'(1) = 3 (P3 − P2). Die Form der Kubik-Bezierkurve wird stark von P1 und P2 beeinflusst, wodurch Tangentenrichtung und Krümmung gesteuert werden können. Die Kurve ist eine glatte Kurve mit definiertem Endpunktverhalten, und ihr Verlauf bleibt innerhalb der konvexen Hülle der Kontrollpunkte.

Berechnung und Unterteilung erfolgen häufig mit dem De Casteljau-Algorithmus, der eine numerisch stabile Auswertung von B(t) ermöglicht und eine einfache Unterteilung der Kurve in zwei Teilkurven auf [0,1] bzw. [0,1] erlaubt. Diese Eigenschaft ist grundlegend für Rendering, Animation und Pfadgestaltung.

Anwendungen der Kubik-Bezierkurven finden sich in Vektorformaten wie SVG, PostScript und PDF, sowie in Schriftkonturen von OpenType CFF, CAD/CAM-Systemen und Animationspfaden. Historisch geht der Name auf Pierre Bézier zurück, der diese Kurven in den 1960er Jahren populär machte; die zugrundeliegende Evaluierung stammt von Paul de Casteljau (1959).