Operatoralgebren

Operatoralgebren sind algebraische Strukturen, die aus Mengen beschränkter linearer Operatoren auf einem Hilbertraum bestehen und unter Addition, Multiplikation, Skalarmultiplikation und adjungierter Operation abgeschlossen sind. Die beiden zentralen Rahmenwerke sind C-Algebren und von Neumann-Algebren (W-Algebren). Sie verbinden Algebra, Funktionalanalysis und Geometrie des Hilbertraums und spielen eine zentrale Rolle in Mathematik und Quantenphysik.

Eine C-Algebra A ist ein komplexer Banach-Algebra mit einer involution , sodass ||a a|| = ||a||^2 gilt. Nach dem Gelfand–Naimark-Theorem lässt sich A als norm-geschlossenes -Unteralgebra von B(H) darstellen. Im Kommutativfall ist A isomorph zu C0(X) für einen lokal kompakt-Hausdorff-Raum X, was eine Dualität zwischen topologischen Räumen und commutativen C-Algebren herstellt. Durch Darstellungen π: A → B(H) erhält man konkrete Realisierungen als Operatoren; die GNS-Konstruktion liefert aus jedem Zustand eine zyklische Darstellung, wodurch abstrakte C-Algebren in Operatoralgebren umgesetzt werden.

Von Neumann-Algebren sind -Unteralgebren von B(H), die abgeschlossen sind in der schwachen Operatoren-Topologie (oder starken Topologien) und die Gleichung A = A'' erfüllen. Sie besitzen eine eindeutige Predual und haben eine Typenklassifikation: Typ I, II und III; Typ-I-Faktoren entsprechen grob algebren von Operatoren auf H, Typ II besitzen Spuren (II1, II∞) und Typ III haben keine semifinite Spur.

Typische Beispiele sind B(H), abelsche Beispiele wie L∞(X) als Multiplikationsoperatoren und Gruppenhalb-Algebren wie L(G). Anwendungen finden sich in Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und (nichtkommutativer) Geometrie.

Historisch gingen C-Algebren auf Arbeiten von Gelfand und Naimark in den 1940er Jahren zurück; Von-Neumann-Algebren entstanden aus den Arbeiten von von Neumann und Murray in den 1930er/40er Jahren.

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