Omformningar

Omformningar är avbildningar som beskriver hur varje element i en mängd omvandlas till ett annat element, ofta betecknad f: X → Y. Inom matematiken används ordet för olika typer av avbildningar som uppfyller särskilda krav, från allmänna funktioner till strukturspecifika transformationer. Man skiljer ofta mellan generella omformningar och de som bevarar extra struktur.

Geometriska omformningar är vanliga exempel och inkluderar translationer (förflyttning av alla punkter med en fast vektor), rotationer (vindlar punkter runt en punkt med behållna avstånd), speglingar (reflektioner över en spegellinje) och skalningar/dilationer (ändra storlek utan att ändra form). Affina omformningar kombinerar en linjär del och en konstant translatsjon; de bevarar linjer och parallellitet men bevarar vanligtvis inte avstånd eller vinklar.

Inom linjär algebra studeras linjära omformningar, som skrivs f(v) = Av, där A är en matris. Dessa avbildningar bevarar nollpunkten och vektoraddition, och deras egenskaper beskrivas via kärnan och bilden. En linjär omformning är invertibel om och endast om dess determinant är olika noll. Inom större sammanhang kan man också tala om isomorfier mellan algebraiska strukturer (grupper, ringar) eller homomorfier i geometri och topologi.

Egenskaper som bevaras varierar: isometriska omformningar bevarar avstånd och vinklar; generella omformningar kan bryta dessa mått men kan fortfarande behålla andra strukturer. Komposition av omformningar ger nya omformningar, och inversa omformningar (när de existerar) utgör igenombildningens motsatser. Omformningar används i geometri, databehandling, kartografi och olika grenar av matematiken för att beskriva hur former och data förändras.