Nummernfolgen

Nummernfolgen sind in der Mathematik geordnete Listen von Zahlen. Formal definiert eine Nummernfolge als Funktion a von den natürlichen Zahlen N auf die reellen oder komplexen Zahlen, wobei das n-te Glied der Folge a_n genannt wird. Die Folge wird oft als (a_n)_{n∈N} geschrieben. Sie dient dazu, ein numerisches Muster oder eine Regel festzuhalten, nach der die Glieder fortlaufend bestimmt werden.

Zu den grundlegenden Typen gehören arithmetische und geometrische Folgen. Eine arithmetische Folge hat die Form a_n = a + (n-1)d, eine geometrische Folge die Form a_n = a r^{n-1}. Rekursiv definierte Folgen ergeben sich aus Beziehungen zwischen Gliedern, z. B. a_n = a_{n-1} + a_{n-2} (Fibonacci). Folgen können auch komplexere Muster oder gemischte Wachstumsarten zeigen, etwa polynomiales oder exponentielles Wachstum.

Eigenschaften: Eine wichtige Eigenschaft ist die Konvergenz. Eine Folge (a_n) konvergiert gegen einen Grenzwert L, wenn a_n → L, und der Wert L bleibt unabhängig von der Wahl der Startwerte. Eine Folge kann auch beschränkt, monoton wachsend oder fallend sein. Unterfolgen und Grenzwerte spielen eine zentrale Rolle in der Analysis, der Approximation und der numerischen Berechnung.

Anwendungen finden sich in der Mathematik und Naturwissenschaften, beispielsweise zur Modellierung von Prozessen, zur Approximation von Funktionen via Reihen oder in Algorithmen, die schrittweise Werte generieren. Die Terminologie umfasst auch Begriffe wie Divergenz, Grenzverhalten und Wachstumsordnungen (linear, polynomial, exponentiell).