Nichtunitär

Nichtunitär bezeichnet in Mathematik und Physik eine Transformation oder einen Operator, der nicht unitär ist. Ein Operator U auf einem komplexen Hilbertraum ist genau dann unitär, wenn U†U = UU† = I gilt, wobei U† der adjungierte Operator ist. Entsprechend gilt nichtunitär, dass diese Gleichung nicht erfüllt wird; U muss also nicht das Innere Produkt oder die Norm von Vektoren erhalten.

In der linearen Algebra bedeutet Nichtunitarität, dass Normen und Abstände durch den Operator nicht erhalten bleiben. Ein Vektor kann durch einen nichtunitären Operator seine Länge verändern. Beispiele zeigen, dass U†U ≠ I ist. Nichtunitäre Operatoren können Vektoren vergrößern oder verkleinern und sind in der Regel nicht orthogonal oder isotrop.

In der Quantenmechanik ist die Zeitentwicklung isolierter Systeme unitär, beschrieben durch U(t) = exp(-iHt/ħ). Bei offenen Systemen oder Messprozessen ist die Dynamik jedoch nicht-unitär, da das System mit der Umgebung wechselwirkt. Die vollständige Entwicklung einschließlich Umwelt ist unitär, doch die reduzierte Entwicklung des Systems allein kann durch Mastergleichungen (z. B. Lindblad-Gleichung) nicht-unitär beschrieben werden. Krausoperatoren E_k mit der Bedingung ∑k E_k† E_k = I ermöglichen eine vollständig klassische-zeit-determiniert-ähnliche, aber nicht-unitäre Abbildung D → ∑k E_k D E_k†.

In der Representationstheorie spricht man von nichtunitären Darstellungen, wenn eine Gruppe nicht auf einem Raum abbildet, der durch ein unitäres Skalarprodukt geschützt ist; solche Darstellungen besitzen andere Strukturen als unitäre. Insgesamt bezeichnet Nichtunitarität das Fehlen der Wahrung von Normen, Abständen oder inneren Produkten durch den Operator.