NichtOrthogonalität

NichtOrthogonalität bezeichnet in der linearen Algebra den Zustand, dass zwei Vektoren oder zwei Unterräume nicht zueinander orthogonal stehen. In einem reellen oder komplexen inneren Produkt-Raum gilt: zwei Vektoren v und w sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ⟨v, w⟩ gleich null ist. NichtOrthogonalität liegt vor, wenn ⟨v, w⟩ ≠ 0 oder, allgemein bei Unterräumen, wenn nicht jedes Element des einen Raums zu jedem Element des anderen Raums orthogonal ist.

Mathematisch hat NichtOrthogonalität weitreichende Folgen für Berechnungen mit Basen und Projektionen. In einer orthogonalen (oder orthonormalen) Basis lassen sich Koeffizienten einfach gewinnen, und die Projektionsoperatoren verwenden Diagonalmatrizen. Bei nicht-orthogonalen Basen ist das Gramm-Matrix G = AᵀA nicht diagonal, und die Koeffizienten einer Linearkombination müssen durch Lösen eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden (G x = Aᵀb). Dadurch steigt in der Praxis der Rechenaufwand und die numerische Instabilität kann wachsen.

Beispiele liefern oft anschauliche Eindrücke: In R² sind die Vektoren v = (1, 0) und w = (1, 1) nicht orthogonal, ihr Skalarprodukt ist 1 und der Winkel zwischen ihnen beträgt arccos(1/√2) ≈ 45°. NichtOrthogonalität ist jedoch nicht nur ein Nachteil; sie ermöglicht auch redundante oder kompaktere Repräsentationen, wie sie in der Signalverarbeitung oder in Frames vorkommen. Zur Handhabung von NichtOrthogonalität werden Verfahren wie Gram-Schmidt zur Orthogonalisierung oder die Nutzung von Biorthogonalität und rotatorischer Basisführung eingesetzt.