Multiskalfiniteelementmetoden

Multiskalfiniteelementmetoden (MsFEM) är en numerisk metod för att lösa partiella differentialekvationer där materialegenskaperna varierar över flera längdskalor. Syftet är att fånga småskaleffekter utan att använda ett extremt finkornigt globalt nät. Genom att konstruera specialanpassade multiskalbasfunktioner som inkorporerar information om mikrostrukturen inom varje grova element kan man uppnå god noggrannhet på grovt nät samtidigt som småskalans påverkan bevaras.

Principen innebär att man använder ett grovt mesh för den globala lösningen och inom varje grovt element löser man ett lokalt elliptiskt problem för att bestämma basfunktionerna φ_i. Dessa funktioner uppfyller vanligtvis att φ_i = N_i på gränsen ∂K och uppfyller -div(a(x) grad φ_i) = 0 i K, där a(x) är den heterogena koefficienten. Den lokala lösningen används sedan som byggsten i den globala stiffness-matrisen på grovnivå, vilket gör att lösningen fångar effektiva egenskaper av mikrostrukturen. Översampling och andra tekniker kan användas för att reducera gränseffekter.

Relationer och varianter: MsFEM är en del av en bredare familj av multiskalmetoder. Den närmast relaterade är FE^2 (two-scale finite element method) och Heterogeneous Multiscale Method (HMM). Metoden är särskilt användbar för elliptiska och paraboliska problem med starka variationer och hög kontrast i a(x), exempelvis flöde i porösa medier och elasticitetsproblem i kompositer. Den kan även anpassas till tidsberoende problem genom tidsdiscretisering.

Begränsningar: MsFEM kräver ofta en tydlig separation mellan mikro- och makroskalen och kan bli kostsam när antalet grova element är stort, eftersom varje element kräver en lokal problemlösning. Snabba varianter används för att minska kostnaderna. Metoden är mindre lämplig för starkt icke-linjära problem där småskaleffekter ändras dynamiskt eller saknas tydliga skalföreställningar. Noggrannhet beror på hur väl basisfunktionerna fångar mikrostrukturen.