basfunktionerna

Basfunktionerna är en uppsättning funktioner som används som bas i ett funktionsrum. Om V är ett vektorrum av funktioner och F = {φ1, φ2, …} är en uppsättning funktioner i V, kan varje f i V skrivas som en linjärkombination f = a1 φ1 + a2 φ2 + …, om F bildar en bas. I fallet med ett ändligt dimensionalt V kräver basen att φi är linjärt oberoende och spänner V. I oändliga dimensioner används ofta begrepp som Schauderbas eller ortonormalbas. En ortonormalbas i ett Hilbertrum ger varje f en konvergent representationsserie f = ∑i ⟨f, φi⟩ φi, där koefficienterna erhålls genom inre produkter.

Vanliga basfunktioner inkluderar polynombaser (1, x, x^2, …), trigonometriska basfunktioner (sinus- och cosinusfunktioner i Fourier-serier), samt Legendre- och Chebyshevpolynom. För lokal representation används B-splines; radiala basisfunktioner (RBF) är vanliga i interpolation och maskininlärning.

Användningar: representation och interpolation av funktioner i numeriska metoder, lösning av differentialekvationer genom spektral- eller finite element-metoder, signalbehandling och dataanalys. Fördel med ortonormalbaser är att koefficienterna fås via enkla inre produkter, vilket förenklar beräkningar och förbättrar stabiliteten.

Basfunktioner är ett grundbegrepp inom funktionsteori och numerisk analys, där valet av bas anpassas till problemet och de önskade egenskaperna, såsom lokalitet, snabb konvergens eller effektivitet i beräkningar.