tidsdiscretisering

Tidsdiscretisering är processen att ersätta ett kontinuerligt tidsförlopp med en uppsättning diskreta tidpunkter, vanligtvis t_n = n h. Genom att ersätta tidsderivator med skillnadsapproximationsupptäckter omvandlas differentialekvationer till algoritmiska uppgifter som kan lösas numeriskt. Tidsdiscretisering används framför allt vid numerisk lösning av ordinära differentialekvationer (ODE) och partiella differentialekvationer (PDE) där tid ingår.

Vanliga tidsdiscretiseringsscheman inkluderar explicit Euler, implicit Euler och Crank-Nicolson. Explicit Euler: y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n). Implicit Euler: y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1}). Crank-Nicolson: y_{n+1} = y_n + (h/2)[ f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_{n+1}) ]. För högre ordning används Runge-Kutta- eller Adams-Moulton/Adams-Bashforth-metoder. Inom PDE-sammanhang används ofta tidsdiscretisering i kombination med rumslig discretisering, exempelvis i metoden med raderna, där tidsderivatan discretiseras och rumslig differentialekvation löses i varje tidssteg.

Stabilitet och konvergens är centrala begrepp vid tidsdiscretisering. Explicit metod kräver ofta att tidssteget följer ett CFL-villkor som beror av rumsliga upplösningen, medan implicit discretisering ofta är stabil även för större tidssteg vid många problem. En grundläggande sats säger att för linjära problem gäller att konsistens tillsammans med stabilitet leder till konvergens (Lax-ekvivalenssatsen). Lokalt truncation error har ordningen p, vilket ger globalt fel av samma ordning under rimliga antaganden. Valet av tidssteg är en avvägning mellan noggrannhet, stabilitet och beräkningskostnad.

Sammanfattningsvis är tidsdiscretisering en central del av numeriska metoder för dynamiska modeller och utgör grunden för att kunna simulera och analysera tidberoende system.