MultiplikatorVerfahren

Multiplikatorverfahren, auch bekannt als Methode der Lagrange-Multiplikatoren, ist ein Verfahren der Optimierung zur Bestimmung von Extremwerten einer Funktion unter Gleichungsnebenbedingungen. Durch Einführen eines oder mehrerer Multiplikatoren wird die Nebenbedingung in Form eines Lagrange-Ausdrucks zusammengeführt, sodass Standardmethoden der unbeschränkten Optimierung angewendet werden können.

Gegeben sei eine Funktion f(x) zu optimieren, wobei x in R^n und m Gleichungsnebenbedingungen g_i(x) = 0 (i = 1,...,m) bestehen. Der Lagrange-Ausdruck lautet L(x, λ) = f(x) + λ^T g(x). Stationaritätsbedingungen verlangen ∂L/∂x = 0, zusätzlich die Nebenbedingungen g(x) = 0. Die Multiplikatoren λ geben an, wie empfindlich der optimale Wert gegenüber Veränderungen der Nebenbedingungen ist.

Für differenzierbare Funktionen liefern diese Bedingungen notwendige, oft aber nicht hinreichende Extremwertkriterien. Bei mehreren Nebenbedingungen erhält man zusätzlich die Gleichungen ∂L/∂λ = g(x) = 0. Für Ungleichungsbedingungen gelten die KKT-Bedingungen: λ_i ≥ 0, g_i(x) ≤ 0, λ_i g_i(x) = 0, sowie ∇_x L = 0.

Anwendungsgebiete umfassen Technik, Ökonomie und Betriebswirtschaft, wo Kosten, Nutzen oder Ressourcenoptimierung unter Nebenbedingungen gleichzeitig berücksichtigt werden müssen. Die Lösung erfordert häufig numerische Verfahren, insbesondere bei nichtlinearen Problemen. Bei konvexen Problemen liefern die KKT-Bedingungen hinreichende Kriterien für Optimalität; bei nicht konvexen Problemen müssen weitere Bedingungen überprüft werden. Erweiterungen umfassen die augmentierte Lagrangian-Methode und andere multiplikatorgestützte Optimierungsverfahren.

Historisch wurde das Verfahren von Joseph-Louis Lagrange entwickelt; in der Fachliteratur wird es häufig als Methode der Multiplikatoren bezeichnet. Es ist ein grundlegendes Werkzeug in der Theorie und Numerik der Optimierung und dient als Brücke zwischen analytischer und numerischer Vorgehensweise.