LagrangeAusdrucks

Der Begriff Lagrangeausdruck, auch als Lagrangian oder Lagrange-Funktion bezeichnet, beschreibt in der Mechanik die skalare Funktion L(q_i, q̇_i, t), die die Dynamik eines Systems festlegt. Üblich ist die Form L = T − V, wobei T die kinetische Energie und V das Potenzial ist. Der Lagrangeausdruck kann jedoch auch weitere Abhängigkeiten enthalten, zum Beispiel zeitliche Terme oder Zwangsbedingungen, die das System einschränken.

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus den Euler-Lagrange-Gleichungen: d/dt(∂L/∂q̇_j) − ∂L/∂q_j = 0 für jede generalisierte Koordinate q_j. Die kanonischen Impulse definieren sich durch p_j = ∂L/∂q̇_j. Dieser formale Rahmen liefert die Gleichungen der Bewegung, die äquivalent zu den Newtonschen Gesetzen sind, sich aber besonders für Systeme mit vielen Freiheitsgraden, Zwangsbedingungen oder auf gekrümmten Konfigurationsräumen eignet.

Der Lagrangeausdruck verknüpft Symmetrien mit Erhaltungssätzen über Noethers Theorem und ist damit zentral für die Analyse von Mechanik, Feldern und Kontrollen. In vielen Lehrbüchern wird auch von der Lagrangefunktion gesprochen; der Ausdruck Lagrangeausdruck ist historisch bedingt, aber weiterhin gängig in bestimmten Kontexten.

Historisch wurde die Methode von Joseph-Louis Lagrange entwickelt; sie bildet eine der Grundsäulen der klassischen Mechanik und findet breite Anwendung in Physik, Ingenieurwissenschaften und Feldtheorie. Beispiele umfassen ein Teilchen der Masse m in einem Potential V(q): L = 1/2 m q̇^2 − V(q), aus dem die Euler-Lagrange-Gleichungen folgen. Erweiterungen betreffen Mehrkoordinaten-Systeme, Zwangsbedingungen und Felder.