Multiplicidade

Multiplicidade é a qualidade de algo que ocorre de forma repetida, em várias instâncias ou componentes. Em matemática, o termo descreve uma medida formal de quanto um objeto se repete em um ponto ou de quão fortemente uma propriedade se manifesta ali.

Nos polinômios, a multiplicidade de uma raiz a de um polinômio f é o maior inteiro m tal que (x − a)^m divide f(x). Se f(x) = (x − a)^m g(x) com g(a) ≠ 0, então a é uma raiz de multiplicidade m. Consequências típicas: raízes com multiplicidade maior que 1 costumam fazer o gráfico tocar o eixo sem cruzá-lo; a soma das multiplicidades de todas as raízes (contando com multiplicidade) é igual ao grau de f.

Para funções e séries, fala-se na ordem de vanishing: se f(a) = f′(a) = … = f^{(m−1)}(a) = 0 e f^{(m)}(a) ≠ 0, então a é uma raiz de multiplicidade m. Esse conceito se estende a objetos mais gerais, como funções holomorfas, onde descreve o quanto uma função se aninha ao redor de um ponto.

Na geometria algébrica, a multiplicidade de um ponto p em uma curva dada por f(x, y) = 0 é a ordem de vanishing de f no ponto. A multiplicidade de interseção entre curvas em p quantifica o quão fortemente elas se cruzam ali; valores maiores que 1 indicam tangência ou interseções múltiplas.

Em álgebra linear, fala-se de multiplicidade de um autovalor: a multiplicidade algébrica é a multiplicidade desse valor como raiz do polinômio característico, enquanto a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio correspondente. Em geral, a multiplicidade algébrica ≥ geométrica; igualdade implica diogonalização.

Outras áreas utilizam o termo para indicar o número de ocorrências de um elemento, classe ou valor estudado.