Monoidalstrukturen

Monoidalstrukturen bezeichnen in der Kategorientheorie die Angabe einer Monoidalstruktur auf einer Kategorie. Eine Monoidalstruktur besteht aus drei Kernelementen: einem binären Produkt ⊗: C × C → C, einem Einheitobjekt I in C sowie natürlichen Isomorphismen, die die Assoziativität und die Einheit belegen. Die Assoziativität wird durch eine natürliche Isomorphismus α: (A ⊗ B) ⊗ C → A ⊗ (B ⊗ C) beschrieben, während die Einheitsisomorphismen λ: I ⊗ A → A und ρ: A ⊗ I → A die Einheitseigenschaft festlegen. Diese Strukturen müssen eine Kohärenzbedingung erfüllen, typischerweise in Form des Pentagons und des Dreiecksdiagramms, die sicherstellen, dass alle zulässigen Verschachtelungen von Tensorprodukten eindeutig zusammenhängen. Wird α, λ und ρ als Identitäten gewählt, spricht man von einer strikten Monoidalstruktur.

Beispiele für Monoidalstrukturen finden sich in vielen Bereichen: Die Kategorie der Mengen mit kartesischem Produkt und dem Einheitsobjekt 1; die Kategorie der Vektorräume über einem Körper mit dem Tensorprodukt und dem Körper als Einheit; die Kategorie der abelschen Gruppen mit dem tensorprodukt über dem Integerring Z; Kategorien homogener Objekte in Topologien oder algebraischer Strukturen.

Weiteres Unterscheidungspotenzial ergibt sich durch zusätzliche Strukturen: Braiding (eine natürliche Isomorphie β: A ⊗ B → B ⊗ A, erfüllt Hexagon-Bedingungen) führt zu braunen bzw. symmetrischen Monoidalstrukturen. Monoidale Funktoren beschreiben Funktoren zwischen Monoidalstrukturen, die das Tensorprodukt und das Einheitselementierungstransfer respektieren, oft bis auf stärkste oder laxere Koeffizienten.

Monoidalstrukturen dienen als Grundlage vieler Konzepte in Algebra, Topologie und mathematischer Physik, insbesondere in der Darstellungstheorie, der Quantenlogik und der Theorie der tensorproduktorientierten Kategorien.