Quantenlogik

Quantenlogik ist ein Teilgebiet der Logik, das sich mit den logischen Strukturen von Aussagen über Quantenphänomene befasst. In der Arbeit von Birkhoff und von Neumann aus dem Jahr 1936 wurde vorgeschlagen, dass die logische Struktur der Quantenmechanik durch die Menge der abgeschlossenen Unterräume eines Hilbertraums beschrieben wird. Diese Propositionsmenge bildet keine Boolesche Algebra, sondern eine orthomodulare Algebra.

Im Quantenlogik-Formalismus entsprechen logische Operatoren den Raumstrukturen: Die Konjunktion zweier Aussagen entspricht dem Schnitt der Unterräume, die Disjunktion dem kleinsten abgeschlossenen Unterraum, der beide Unterräume enthält (der von ihnen erzeugte abgeschlossene Unterraum). Die Negation einer Aussage ist das Orthokomplement. Die Implikation ist nicht eindeutig definiert; eine verbreitete Form ist die Sasaki-Implikation A → B = A' ∨ (A ∧ B).

Eigenschaften dieser Logik sind Nicht-Distributivität und Kontextabhängigkeit. Das Kochen-Specker-Theorem demonstriert, dass in Systemen mit Dimension drei oder höher eine nichtkontextuelle versteckte Variable nicht existieren kann. Gleasonsches Theorem zeigt, dass sich aus einer normierten Wahrscheinlichkeitszuweisung auf die Propositionsmenge Dichtematrizen des Quantenstaates ableiten lässt.

Historisch dient Quantenlogik vor allem der Fundierungstheorie der Quantenmechanik und der philosophischen Debatte über die Natur der Realität. In der Quanteninformatik dient sie eher als konzeptioneller Rahmen, während praktische Berechnungen üblicherweise durch Standard-Quantenlogik oder den Hilbertraum-Formalismus modelliert werden. Es existieren verschiedene Erweiterungen und Alternativen, etwa orthomodulare Logiken, Effektalgebren und verschiedene mehrwertige Logiken, die versuchsweise logische Aspekte von Messung und Probabilität abbilden.

Quantenlogik bleibt ein aktives Forschungsfeld in der Grundlagenforschung, mit Verbindungen zu Mathematischer Logik, Operatoralgebren und Quanteninformationstheorie.