Mittelswerten

Mittelswerte, auch Maße der Mitte genannt, sind Kennwerte der Statistik, die eine Verteilung durch einen einzigen Wert zusammenfassen. Sie geben an, welcher Wert als typisch für die Beobachtungen gilt und dienen der Beschreibung von zentraler Tendenz.

Zu den wichtigsten Mittelswerten gehören:

- Arithmetisches Mittel: Die Summe der Beobachtungen geteilt durch die Anzahl der Werte. Formel: x̄ = (1/n)∑xi. Empfindlich gegenüber Ausreißern; geeignet für metrische Skalen.

- Geometrisches Mittel: Die n-te Wurzel aus dem Produkt der Werte. Geeignet für Verhältniszahlen und Wachstumsprozesse; alle Werte müssen positiv sein. Beispiel: für 2, 3, 7, 10 liegt es ungefähr bei 4,53.

- Harmonisches Mittel: N durch die Summe der Kehrwerte der Werte. Geeignet für Durchschnittsgeschwindigkeiten oder Raten; erfordert positive Werte.

- Median: Der mittlere Wert einer geordneten Stichprobe. Robuster gegenüber Ausreißern als das arithmetische Mittel; geeignet für ordinalen oder stark schiefen Verteilungen.

- Modus: Der häufigste Wert in der Stichprobe. Nützlich bei nominalen Daten oder zur Bestimmung der häufigsten Ausprägung; es kann mehrere Modi geben oder keiner, bei kontinuierlichen Daten oft kein eindeutiger Modus.

Eigenschaften und Auswahl:

Die Wahl des Mittels hängt von der Datenart, der Verteilung und dem Verwendungszweck ab. Das arithmetische Mittel verwendet alle Werte, ist aber anfällig für Extrema; der Median liefert eine robuste Zentralität bei schiefen Verteilungen; das geometrische und harmonische Mittel eignen sich für spezielle Skalenniveaus und Prozesse.

Beispiel (Dataset: 2, 3, 7, 10): Arithmetisches Mittel ≈ 5,5; Median = 5; Geometrisches Mittel ≈ 4,53; Harmonisches Mittel ≈ 3,72.