Mengenberechnung

Mengenberechnung bezeichnet die systematische Bestimmung und Manipulation von Mengen durch standardisierte Operationen. Sie gehört zum Grundbestand der Mengentheorie und dient dazu, Beziehungen zwischen Mengen abzuleiten, Mengen zu kombinieren und Mengenelemente zu vergleichen. Die Berechnungen erfolgen meist relativ zu einer universalen Menge U, innerhalb derer die betrachteten Mengen liegen.

Zu den grundlegenden Operationen gehören die Vereinigung, der Schnitt, die Differenz und das Komplement. Die Vereinigung A ∪ B enthält alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden vorkommen. Der Schnitt A ∩ B besteht aus Elementen, die in beiden Mengen liegen. Die Differenz A \ B (manchmal A − B) enthält Elemente von A, die nicht in B liegen. Das Komplement A^c umfasst alle Elemente von U, die nicht in A enthalten sind. Wichtige Identitäten sind A ∪ A = A, A ∩ A = A, A ∪ ∅ = A, A ∩ U = A sowie De Morgans Gesetze.

Die Kardinalität, also die Anzahl der Elemente einer Menge, ist ein zentrales Konzept. Für zwei Mengen gilt die Inklusions-Exklusions-Formel |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Allgemein erlaubt sie Berechnungen von Größen von Vereinigungen mehrerer Mengen. Submengenbeziehungen werden durch A ⊆ B bzw. A ⊊ B ausgedrückt, Gleichheit durch A = B.

Weitere wichtige Begriffe in der Mengenberechnung umfassen das kartesische Produkt A × B, die Potenzmenge P(A) sowie Indikator- bzw. charakteristische Funktionen, die Mengen durch Merkmale abbilden. Anwendungen finden sich in Beweisen, Datenstrukturen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Datenbankabfragen.

Beispiel: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Dann ist A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {2, 3}, A \ B = {1}, B \ A = {4}.