MeanFieldTheorien

MeanFieldTheorien, auch bekannt als Mean-Field-Theorien, sind eine Gruppe von Näherungsverfahren in der statistischen Physik und der Quantenmaterie, bei denen der Einfluss der vielen Wechselwirkungen eines Teilchens durch ein durchschnittliches, selbstbestimmtes Feld ersetzt wird. Diese Vereinfachung reduziert komplexe Viele-Körper-Probleme auf ein einzelnes Teilchen in einem selbstkonsistenten Feld und ermöglicht oft analytische oder einfache numerische Lösungen. Typisch entsteht eine Gleichung für den mittleren Feldwert oder einen Ordnungparameter, der durch Selbstkonsistenzbedingungen bestimmt wird.

Beispiele umfassen die Weisssche mittlere Feldtheorie des Ferromagnetismus, die Landau-Theorie der Phasenübergänge, den Hartree-Fock-Ansatz in der Quantenchemie und -physik sowie die BCS-Theorie der Supraleitung. In der modernen Quantenfeldtheorie zeigt sich das Konzept in Mean-Field-Ansätzen wie dem Gross-Pitaevskii-Modell für Bose-Kondensate; dynamische Mean-Field Theory (DMFT) verallgemeinert das Konzept auf stark wechselwirkende Elektronensysteme, indem ein lattice Problem auf ein selbstkonsistentes Impurity-Modell abgebildet wird.

Vorteile sind einfache Strukturen und oft gute qualitative Vorhersagen in höheren Dimensionen oder bei schwach gekoppelten Systemen; Mean-Field-Theorien liefern typischerweise Phasenverhalten und Ordnungparameter. Grenzen bestehen darin, Fluktuationen und räumliche Korrelationen zu vernachlässigen, was zu falschen kritischen Exponenten führen kann; insbesondere in niedrigen Dimensionen oder bei starken Wechselwirkungen können sie versagen. Erweiterungen wie RG-Verfahren oder DMFT sowie numerische Methoden ergänzen Mean-Field-Ansätze, um Fluktuationen systematisch zu berücksichtigen.