Maximumwaarde

Maximumwaarde is een begrip uit de wiskunde dat verwijst naar de grootste waarde die een functie op een gegeven domein aanneemt. Formeel is M een maximumwaarde van een functie f op een domein D als f(x) ≤ M voor alle x in D en er bestaat ten minste één x0 in D zodat f(x0) = M. Als zo’n M niet bestaat, heeft f geen maximum. Als er wel een bovengrens is maar deze niet wordt bereikt, spreken we soms van supremum in plaats van maximum.

Er is ook onderscheid tussen absoluut (globaal) en lokaal maximum. Een lokaal maximum occurreert wanneer er in een buren van een punt x0 geldt dat f(x0) ≥ f(x) voor alle x in die buurt. Een absoluut maximum is het grootste waarde van f over het hele domein D. Als f continu is op een gesloten en gebonden interval, dan bestaat er altijd een maximum (en een minimum) op dat interval, wegens het Weierstrass-theorema.

Berekenen en vinden van maximumwaarden gebeurt vaak met calculus: zet de afgeleide gelijk aan nul (kritieke punten) en evalueer de functie op deze punten en op de randen van het domein. Voor meervouden variabelen geldt: zoek naar punten waar de partiële afgeleiden nul zijn en overweeg de gekozen beperkingen via methoden zoals Lagrange-multiplicatoren. In de discrete praktijk is de maximumwaarde simpelweg het grootste element van de gegeven verzameling. Voorbeelden illustreren situaties met eindige en oneindige domeinen, open of gesloten intervallen, en functies die al dan niet een maximum hebben.