Matrixvermenigvuldiging

Matrixvermenigvuldiging is een fundamentele bewerking in de lineaire algebra waarbij twee matrices worden gecombineerd tot een derde matrix. Als A een m×n-matrix is en B een n×p-matrix, dan is het product AB een m×p-matrix. De elementen worden berekend als c_ij = ∑_{k=1}^n a_ik b_kj, wat betekent dat elk element van AB het dotproduct is van de i-de rij van A en de j-de kolom van B.

De vereiste is dat de binnenste dimensies kloppen: het aantal kolommen van A moet gelijk zijn aan het aantal rijen van B (n). In dat geval is AB gedefinieerd en heeft het product dezelfde rij- en kolomdimensies als de overblijvende afmetingen (m en p).

Eigenschappen van matrixvermenigvuldiging zijn onder andere associativiteit en distributiviteit. (AB)C = A(BC) en A(B+C) = AB + AC, evenals (A+B)C = AC + BC wanneer de bewerkingen gedefinieerd zijn. De operatie is over het algemeen niet commutatief: AB is niet noodzakelijk gelijk aan BA. Het identiteits-Element I_p fungeert als neutraal voor de tweede factor in expressies waar die dimensies kloppen.

Interpretatie als lineaire transformatie: matrices vertegenwoordigen lineaire kaarten. Het product AB komt overeen met de samenstelling van de kaarten B gevolgd door A, oftewel A ∘ B. Hiermee kan men transformaties programma’s, grafische beelden en systemen van lineaire vergelijkingen beschrijven.

Praktische aspecten: de naïeve berekening heeft een tijdcomplexiteit van O(mnp). Bij speciale structuren zoals diagonale of blokdiagonale matrices kan de rekentijd aanzienlijk lager uitvallen, en er zijn geavanceerde algoritmen die de asymptotische grens verbeteren.

Voorbeeld: laat A = [[1,2,3],[4,5,6]] (2×3) en B = [[7,8],[9,10],[11,12]] (3×2). Dan AB = [[58, 64], [139, 154]].