Matrixmetoden

Matrixmetoden, eller matrismetoden, är ett brett begrepp inom linjär algebra som beskriver hur matriser används för att lösa linjära system av ekvationer och linjära differentialekvationer samt för att beskriva olika transformationer. Den är grundläggande inom matematisk teori och används i stor utsträckning inom naturvetenskap, teknik och ekonomi.

För linjära system skrivs problemet i form av A x = b, där A är koefficientmatrisen. Lösningar erhålls genom radreducering (Gauss-elimination), genom att beräkna inversen av A när det är möjligt, eller genom faktorisering av A som LU eller QR. För en unik lösning krävs att A är inverterbar ((det(A) ≠ 0)). Om systemet inte har någon lösning eller har oändligt många lösningar avgörs detta av rangen hos A i förhållande till b.

Inom differentialekvationer och dynamiska system används ofta x'(t) = A x(t) + b eller homogen x'(t) = A x(t). Om A är diagonalisabelt kan lösningen skrivas med egenvärden och egenvektorer: x(t) = V e^{D t} V^{-1} x(0) + särskild lösning. I allmänhet används matrisexponentialen e^{A t} för den homogena lösningen, och Jordan-form används om A inte är diagonaliserbart.

Beräkningsaspekter: matrismetoden bygger på matrisfaktoriseringar (LU, QR), spektral analys, och numeriska metoder för stora glesa system (Jacobi, Gauss-Seidel, Krylov-metoder). Den ger ett kompakt sätt att beskriva och lösa problem samt möjliggör skalbar beräkning.

Exempel: Lösning av 2x + 3y = 5 och 4x + y = 6 ger x = 1,3 och y = 0,8.

Historia och användning: Begreppet växte fram i samband med utvecklingen av matriser på 1800-talet (Cayley, Sylvester) och blev standard för lösning av linjära system och differentialekvationer i matematik, fysik och teknik.