MarkovKettenMonteCarloVerfahren

MarkovKettenMonteCarloVerfahren bezeichnet eine Klasse von Verfahren zur Generierung von Zufallsstichproben aus einer Zielverteilung π(x), typischerweise einer mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilung, aus der direkte Proben schwer zu erzeugen sind. Ziel ist es, durch Aufbau einer Markov-Kette, deren stationäre Verteilung gleich π ist, Stichproben zu erzeugen, die mit zunehmender Anzahl von Schritten der Verteilung π annähern.

Das zentrale Prinzip besteht darin, Übergangskerne P(x, x') zu wählen, die Ergodizität und Stetigkeit der Übergänge sicherstellen so wie die Zielverteilung als stationäre Verteilung erhalten. Durch wiederholte Schritte entsteht eine Abfolge von Stichproben, deren Abstände voneinander abhängen, jedoch insgesamt die Zielverteilung modellieren. Wichtige Konzepte sind Burn-in-Phasen, Autokorrelation und die effektive Stichprobengröße.

Zu den bekanntesten Algorithmen gehören der Metropolis-Hastings-Algorithmus und das Gibbs-Sampling. Weitere Varianten umfassen Hamiltonian Monte Carlo, das auf Hamiltonschen Dynamiken basiert, sowie Slice Sampling. Die Wahl des Übergangskerns beeinflusst Konvergenzgeschwindigkeit und Effizienz, insbesondere in hochdimensionalen Modellen.

Anwendungen finden sich in der Bayesschen Inferenz, Statistik, Physik, Chemie und Biologie sowie im maschinellen Lernen. Vorteile liegen in der Fähigkeit, komplexe, mehrdimensionale Zieltverteilungen zu erfassen, ohne explizite Probenstrukturen zu benötigen; Nachteile sind die Notwendigkeit diagnostischer Konvergenzprüfungen und potenziell langsame Konvergenz bei starken Abhängigkeiten.

Historisch geht MCMC auf den Metropolis-Algorithmus (1953) zurück; Hastings erweiterte 1970 die Methode zu Metropolis-Hastings. Der Begriff MCMC etablierte sich in den 1990er Jahren.