Machtsreeksen

Machtsreeksen zijn oneindige sommen van de vorm sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n, waarbij de c_n getallen zijn (reëel of complex) en a het centrum van de reeks is. Ze geven een functie f weer in een buurt van a, mits de reeks convergeert. De reeks heeft een straal van convergentie R: de som convergeert voor alle x met |x-a|<R en divergeert voor |x-a|>R. De waarde van R kan worden berekend als R = 1 / limsup_{n→∞} |c_n|^{1/n}. Aan de grenspunten |x-a|=R kan converge optioneel voorkomen en vereist afzonderlijke toetsing. In het complexe getalveld geldt dat f analytic is in de open schijf {z : |z-a|<R}.

Power series leveren doorgaans analytische functies op in hun convergentiegebied; afgeleiden zijn door termijngewijze differentiatie te verkrijgen: f'(x) = sum_{n=1}^\infty n c_n (x-a)^{n-1}, en in het algemeen f^{(n)}(a) = n! c_n. Integratie geeft een antiderivaat met dezelfde straal van convergentie: ∫ f(x) dx = C + sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^{n+1}/(n+1).

Voorbeelden: de geometrische machtreeks sum_{n=0}^\infty x^n = 1/(1-x) voor |x|<1, met c_n = 1 en centrum a=0. In het algemeen is f(x) = sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(a)/n! (x-a)^n de Maclaurin- of Taylor-reeks van f rondom a. Machtreeksen worden veel gebruikt voor lokale representaties van functies, benaderingen en in oplossingen van differentiaalvergelijkingen en numerieke berekeningen.