Lorentziaanse

Lorentziaanse meetkunde is een tak van wiskunde en theoretische natuurkunde die zich bezighoudt met ruimten en manifolds die zijn uitgerust met een Lorentziaanse metriek. Een differentiable manifold M met een Lorentziaanse metriek g heeft op elke raakruimte T_pM een niet-degenererende symmetrische bilineaire vorm met één tijdachtige richting. In vierdimensionale ruimte-tijd wordt doorgaans gesproken van een metriek met oneven signatuur (-,+,+,+) in de fysische conventie, waardoor tijd en ruimte op fundamentele wijze met elkaar verweven zijn.

Binnen zo’n metriek kunnen vectoren worden geclassificeerd als tijdachtig, lichtachtig of ruimtelijk, afhankelijk van de waarde van g(v,v). Dit leidt tot de lichtkogel en tot een causale structuur die bepaalt welke gebeurtenissen elkaar kunnen beïnvloeden. Geodesica van de metriek beschrijven de natuurlijke trajecten van vrije deeltjes: tijdachtige geodesica komen overeen met mogelijke wereldlijnen van massieve deeltjes, nul-geodesica met lichtlijnen en ruimtelijke geodesica met ruimtelijk-georiënteerde kromming.

Historisch gezien komt de idee van een Lorentziaanse structuur voort uit de ontwikkeling van de speciale relativiteit en de werkstuk van Hermann Minkowski, met de notie vernoemd naar Hendrik Lorentz. De term verwijst naar de karakteristieke Lorentzkaders die camouflage bieden voor de relativistische tijd-ruimte relatie.

Toepassingen en onderzoek in Lorentziaanse meetkunde omvatten studie van causale relaties, globale hyperboliteit, singulariteiten en de geometrie van zwarte gaten, evenals wiskundige vraagstukken rondom geodesische volledigheid en de structuur van ruimtetijden in de algemene relativiteitstheorie. In bredere zin vormt Lorentziaanse meetkunde de basis voor het mathematisch formuleren van ruimtetijd in moderne fysica.