Likelihoodmethoden

Likelihoodmethoden bezeichnen eine Gruppe statistischer Verfahren, die die Likelihood-Funktion L(θ; x) als zentrale Grundlage verwenden. Die Likelihood-Funktion misst die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten x in Abhängigkeit von den Modellparametern θ. Im Kern dient sie als Grundlage für Schätzung, Inferenz und Modellvergleich, unabhängig von Priorverteilungen.

Die am häufigsten verwendete Methode ist die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE): θ wird so gewählt, dass L(θ; x) maximiert wird. Unter Regularitätsbedingungen liefert MLE konsistente, asymptotisch effiziente und häufig normalverteilte Schätzfehler; die Schätzung ist invariant gegenüber sinnvollen Umparametrisierungen.

Für Inferenz dienen Likelihood-Ratio-Tests zum Vergleich verschachtelter Modelle; die Teststatistik 2[log L(θ̂) − log L(θ̂0)] folgt unter H0 asymptotisch einer χ²-Verteilung mit df, die der Differenz in Parameteranzahl entspricht. Profil-Likelihood liefert Konfidenzintervalle, und Wald-Tests verwenden die Verteilung der Schätzer bei großen Stichproben.

Bei komplexen Modellen sind vollständige Likelihoods oft schwer zu berechnen. Dann kommen Composite oder Pseudo-Likelihood-Verfahren zum Einsatz (z. B. paarweise Likelihood). Sie liefern unter bestimmten Bedingungen konsistente Schätzungen, erfordern aber angepasste Standardfehler (Godambe-Information).

Zusammenhang mit dem Likelihood-Prinzip: Inferenz sollte sich weitgehend aus L ableiten; Priors spielen in rein likelihood-basierten Ansätzen keine Rolle. Dennoch wird der Likelihood-Ansatz oft gemeinsam mit Bayesianen Methoden verwendet. Praktische Herausforderungen umfassen Modellmisspezifikation, numerische Optimierung und die Wahl der geeigneten Form der Likelihood.