Lefschetzthimblemethoden

Lefschetzthimblemethoden sind Verfahren zur Evaluation von Integralen mit komplexer oder stark oszillierender Gewichtung, bei denen der Integrationspfad in den komplexen Raum verschoben wird. Sie basieren auf der Picard-Lefschetz-Theorie und der Morse-Theorie und nutzen die komplexifizierten Integrationsvariablen sowie die kritischen Punkte der Funktion S(z).

Zu jedem kritischen Punkt z_i der komplexifizierten Funktion S(z) gehört eine Lefschetzthimble J_i. Diese Thimble ist die Menge aller Startpunkte, die unter einer Abstiegsgleichung (Gradientenfluss) zum entsprechenden kritischen Punkt konvergieren. Der Gradientfluss reduziert die Realteil von S entlang der Pfade, sodass die Integrale über Thimbles konvergente Beiträge liefern.

Das ursprüngliche Integrationszyklus C im realen Raum kann als lineare Kombination der Thimbles C = Sum_i n_i J_i geschrieben werden, wobei n_i ganzzahlige Schnittzahlen sind. Daraus ergibt sich eine Zerlegung des Integrals in eine Summe über die Thimbles: Integral_C e^{-S(z)} dz = Sum_i n_i ∫_{J_i} e^{-S(z)} dz. Die Integrale über Thimbles konvergieren tendenziell besser, weil die Oszillationen durch den Abstieg des Realteils von S gedämpft werden. Dennoch bleibt oft eine Restphasen- oder Maßphasenfaktor bestehen, die zu einer verbleibenden Form des Sign-Problems führen kann.

Anwendungen finden sich vor allem in der Quantenfeldtheorie und statistischen Mechanik, etwa bei komplexen Aktionsformen oder Fermionen mit Sign-Problem in der Lattice-QCD. Praktisch erfordert die Methode die Bestimmung der relevanten kritischen Punkte, die Konstruktion der zugehörigen Thimbles und eine numerische Integration auf deren Gebiet. Die Lefschetzthimblemethoden liefern so eine systematische, theoretisch fundierte Alternative zu rein realen Deformationen von Integrationspfaden.