Integrationsvariablen

Integrationsvariablen bezeichnet man in der Mathematik die Variablen, mit deren Hilfe eine Integration durchgeführt wird. In der eindimensionalen Analysis ist dies typischerweise die Variable x oder t; bei mehrdimensionalen Integralen erweitert sich das Konzept auf mehrere Integrationsvariablen wie x und y.

Der Integrationsprozess gilt formal als Integration über eine Region oder über den Definitionsbereich. Die Integrationsvariablen erscheinen in Integrationsnotationen wie ∫ f(x,y) dx dy oder ∫∫_R f(x,y) dA. Bei Substitutionen wird oft auf neue Integrationsvariablen u, v gewechselt, während die ursprünglichen Koordinaten durch Transformationsgleichungen ersetzt werden.

Da Integrationsvariablen meist als Dummy-Variablen auftreten, ist ihr Name beim Auswerten egal; der Wert des Integrals hängt nur von der Funktion, der Region und ggf. den Grenzen ab. Eine Umbenennung der Integrationsvariablen ist zulässig, solange Grenzen entsprechend angepasst werden oder es sich um unbestimmte Integrale handelt, bei denen sich nur eine Integrationskonstante ändert.

Bei einer Substitution transformiert man x = x(u,v), y = y(u,v) und ersetzt dx dy durch das Produkt des Betrags der Jacobi-Matrix |J| du dv. Damit lässt sich ein Integral über eine komplizierte Region oder mit kompliziertem Integranden vereinfachen.

Für ordnungsgemäße Werte von mehrdimensionalen Integralen gilt oft das Fubini-Theorem: Die Reihenfolge der Integration kann gewechselt werden, sofern das Integral absolut konvergiert oder unter bestimmten Bedingungen die Region Rechteckform hat. Dadurch kann man iterierte Integrale in beliebiger Reihenfolge ausführen.

Anwendungsbeispiele finden sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Physik und der Ingenieurwissenschaft: Erwartungswerte, Wahrscheinlichkeitsdichten, Volumenberechnungen und Massen von Körpern werden durch Integration über die entsprechenden Variablen berechnet.