Langzeitmittelwert

Der Langzeitmittelwert ist der Grenzwert des zeitlichen Durchschnitts einer Zufallsgröße oder eines stochastischen Prozesses, sofern dieser Grenzwert existiert. In diskreter Zeit lässt sich der Langzeitmittelwert X̄ als lim_{n→∞} (1/n) ∑_{t=1}^n X_t definieren; in kontinuierlicher Zeit als lim_{T→∞} (1/T) ∫_0^T X(t) dt. Er beschreibt die mittlere Lage eines Prozesses, wenn er über lange Zeiträume beobachtet wird.

Die Existenz eines Langzeitmittelwerts hängt von Eigenschaften wie Stationarität und ergodischen Annahmen ab. Bei unabhängig verteilten Variablen mit identischer Verteilung konvergiert der Stichprobenmittelwert gegen den Erwartungswert. Bei stationären und ergodischen Prozessen entspricht der Langzeitmittelwert oft dem Erwartungswert bzw. dem Ensemblemittel. Ohne solche Voraussetzungen kann der Grenzwert nicht existieren oder er kann sich über die Zeit verschieben.

In der Praxis wird der Langzeitmittelwert durch lange Beobachtungen oder Simulationen geschätzt, indem über den betrachteten Zeitraum gemittelt wird. Er dient als Referenz- oder Gleichgewichtsniveau in Modellen und Analysen. Anwendungen finden sich in Physik, Ökonomie, Hydrologie, Umweltwissenschaften und Finanzwirtschaft.

Wichtige Einschränkungen ergeben sich bei nicht-stationären Prozessen mit Trends oder starken saisonalen Strukturen; dort kann kein stabiler Langzeitmittelwert existieren oder er verändert sich über die Zeit. In einigen Finanzmodellen wird der Begriff im Zusammenhang mit Mean Reversion verwendet, also der Tendenz von Werten, sich langfristig einem bestimmten Mittelwert anzunähern.