Kurvensammlung

Kurvensammlung bezeichnet in der Geometrie eine systematische Zusammenstellung von Kurven, die sich durch einen oder mehrere Parameter unterscheiden. Formal ist sie eine Abbildung von einem Parameterraum T auf den Raum der Kurven: Für jeden Parameterwert t in T erhält man eine Kurve C_t. Diese Kurven können in der Ebene oder in höheren Dimensionen liegen. Eine Kurvensammlung lässt sich oft durch eine Gleichung F(x, y, t) = 0 beschreiben, wobei t den jeweiligen Kurvenwert festlegt.

Bekannte Beispiele sind die Familie von Geraden durch einen festen Punkt, etwa die Geraden y = m x mit m als Parameter, oder die Familie von Kreisen mit Mittelpunkt am Ursprung: x^2 + y^2 = r^2, wobei r ≥ 0 der Parameter ist. In der algebraischen Geometrie spricht man häufig von einem Pencil von Kurven, das ein eindimensionales lineares System von Kurven beschreibt, gewöhnlich in Form von F(x, y) + λ G(x, y) = 0, wobei λ ein Parameter aus dem projektiven Bereich ist.

Wichtige Eigenschaften betreffen Variationen der Kurven mit dem Parameter: Für bestimmte Parameterwerte kann C_t singulär oder degeneriert sein; man spricht dann von Sonderfaserungen. Kurvensammlungen dienen der Untersuchung von Deformationen, Singulitäten, Intersectionsmustern sowie als Modellierungswerkzeug in Wissenschaft, Technik und Computergrafik.

Begrifflich wird der Ausdruck Kurvensammlung oft durch Kurvenfamilie oder Pencil ersetzt. Der Begriff ist in der deutschen Mathematik nicht durchgehend standardisiert und variiert je nach Teilgebiet.