Singulitäten

Singulitäten bezeichnen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften Punkte oder Regionen, an denen ein Objekt nicht regulär definiert ist oder dessen Verhalten völlig anders ist als im Umfeld erwartet. Sie tauchen in Funktionen, geometrischen Objekten, Gleichungen und physikalischen Theorien auf und liefern oft Hinweise auf Grenzen einer Theorie oder auf die Notwendigkeit einer neuen Beschreibung.

In der komplexen Analysis besitzt eine holomorphe Funktion an isolierten Stellen Singulitäten. Diese werden nach ihrem Verhalten klassifiziert: entfernbare Singulität, Pol (mit endlicher Ordnung) und essentielle Singulität. Ein Beispiel: f(z)=1/z hat eine einfache Polstelle bei z=0; f(z)=e^{1/z} besitzt eine essentielle Singulität dort. Die Art der Singulität bestimmt das Verhalten der Funktion in der Umgebung.

In der Geometrie und der algebraischen Geometrie treten Singularitäten von Kurven, Flächen oder Varietäten auf, wenn der Tangentenraum oder die Ableitungen nicht eindeutig bestimmt sind, beispielweise an Punkten, an denen mehrere Ableitungen gleichzeitig verschwinden. Die Theorie der Auflösung von Singularitäten sucht nach äquivalenten, „glatten“ Modellen durch Transformationen oder Modifikationen der Geometrie. Sinnvolle Konzepte sind etwa die Desingularisierung und die Untersuchung lokaler Strukturen.

In der Physik können Singulitäten auftreten, bei denen Krümmungen oder andere Invarianten divergieren, wie im Zentrum eines Schwarzen Lochs. Oft wird zwischen echten physikalischen Singulitäten und Koordinatendivergenzen unterschieden, die durch eine geeignete Koordinatenauswahl entfernt werden können.

Der Begriff ist breit gefasst und dient dazu, Grenzfälle zu kennzeichnen, in denen die reguläre Struktur nicht gilt. In vielen Bereichen liefern Singularitäten wichtige Einsichten in die Grenzen von Modellen und Strategien zu ihrer Behandlung.