Kurvenflächen

Kurvenflächen bezeichnet man in der Geometrie Flächen im dreidimensionalen Raum, die durch eine Familie von Kurven entstehen oder allgemein durch eine zweidimensionale Parameterdarstellung beschrieben werden. Sie sind zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten, deren Punkte durch zwei Parameter, üblicherweise u und v, bestimmt werden. Oft lässt sich eine Kurvenfläche folgendermaßen charakterisieren: Die Fläche besitzt eine Foliation durch Kurven, das heißt, für jedes feste v ergibt die Abbildung u ↦ S(u, v) eine Kurve auf der Fläche, und für jedes feste u ergibt die Abbildung v ↦ S(u, v) ebenfalls eine Kurve.

Parameterdarstellung und Eigenschaften beachten: Eine Kurvenfläche wird durch eine glatte Abbildung S: U ⊂ R^2 → R^3 beschrieben, deren partiellen Ableitungen S_u und S_v nicht gleichzeitig verschwinden. Die beiden Richtungen geben dann die Orientierung der Flächen- und der Kurvenlinien vor. Aus der Parameterdarstellung lassen sich Metrik, Krümmung und weitere geometrische Größen ableiten, etwa die Gaußsche Krümmung K und die mittlere Krümmung H.

Beispiele: Flächen, die durch Rotation einer Kurve um eine Achse entstehen (Rotationsflächen) gehören zu den Kurvenflächen. Ebenfalls typisch sind Flächen, die durch das Verschieben oder Fortsetzen einer Kurve entlang einer anderen Kurve erzeugt werden, sowie allgemeine, durch zwei Parameter getragene Flächen wie kugelflächen oder glatte reguläre Flächen.

Zu ihren Unterkategorien zählen spezielle Typen wie Flächen mit einer Generatorkette (zum Beispiel Flächen, die durch Geraden als Generaten entstehen) und allgemein parametrisierte, gekrümmte Flächen. Anwendungen finden sich in der Geometrie, Computergraphik, CAD und Architekturlösungen.