Rotationsflächen

Rotationsflächen sind Oberflächen, die durch die Rotation einer ebenen Kurve um eine Achse entstehen. Die Achse liegt in der Ebene der Kurve; häufig handelt es sich um die x- oder die y-Achse. Die erzeugende Kurve kann als y=f(x) oder als parametrische Kurve r(t) beschrieben sein. Durch die Rotation erhält die Fläche eine dreidimensionale Form, deren Geometrie von der Form der Grundkurve abhängt.

Typische Generierungsarten: Eine Kurve y=f(x) im Intervall [a,b] wird um die x-Achse rotiert und liefert eine Rotationsfläche. Rotiert man um die y-Achse, ist der Radius zur Achse r = |x| und die Fläche berechnet sich entsprechend aus der Kurve y=f(x). Allgemein lässt sich eine Rotationsfläche auch aus einer parametrischen Kurve r(t) = (x(t), y(t)) erzeugen; die Rotation erfolgt um eine Achse im Koordinatensystem.

Oberflächeninhalt: Der Oberflächeninhalt einer Rotationsfläche ergibt sich aus S = ∫ 2π r ds, wobei r der Abstand zur Rotationsachse ist und ds das Bogenmaß der Generierungskurve darstellt. Konkret für eine Rotation um die x-Achse bei y=f(x) gilt S = ∫_a^b 2π f(x) sqrt(1+(f′(x))^2) dx. Um die y-Achse rotiert man analog mit r = |x|, S = ∫_a^b 2π |x| sqrt(1+(f′(x))^2) dx.

Volumen: Das Volumen ergibt sich durch V = ∫ π r^2 ds bzw. bei der Diskmethode V = π ∫ f(x)^2 dx für Rotation um die x-Achse. Für Rotation um die y-Achse erhält man V = π ∫ g(y)^2 dy, falls die Generierungsfunktion x = g(y) gegeben ist.

Methoden: Die Scheiben-/Washer-Methode (Diskmethode) und die Zylinderschalenmethode werden je nach Form der Generierung angewendet. Pappus’ Theoremsatz liefert eine Beziehung zwischen dem Volumen einer Rotationsfläche und dem Flächeninhalt der Generierungsfigur.