kugelflächen

Kugelflächen bezeichnen die Oberflächen von Kugeln in drei Dimensionen; sie sind glatte zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, die alle Punkte einer Kugel mit festem Radius r vom Mittelpunkt aus umfassen. In kartesischen Koordinaten erfüllen sie die Gleichung x^2 + y^2 + z^2 = r^2. Der Rand des abgeschlossenen Balls B^3 bildet die Kugelfläche.

Eigenschaften: Kugelflächen sind kompakt, zusammenhängend und orientierbar; sie sind reguläre Flächen, glatt und besitzen keinen Rand. Eine übliche Parametrisierung verwendet sphärische Koordinaten: x = r sinφ cosθ, y = r sinφ sinθ, z = r cosφ mit φ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π).

Maße und Krümmung: Die Fläche hat eine Oberfläche von A = 4πr^2. Die Gaußsche Krümmung beträgt K = 1/r^2, die mittlere Krümmung H = 1/(2r). Die Hauptkrümmungen sind beide gleich 1/r, wodurch Kugelflächen eine Fläche mit totaler Umbilizität darstellen. Geodätische Linien auf Kugelflächen sind Großkreise, die durch den Mittelpunkt schneiden.

Bezüge und Anwendungen: Kugelflächen dienen in der Geometrie als Standardbeispiel für eine Fläche konstanter positiver Krümmung. In Technik und Computergraphik werden sie modelliert; in Geodäsie und Astronomie dienen sie als einfaches Referenzmodell. In Physik und Kosmologie treten kugelförmige Symmetrien in vielen Systemen auf.