Kugelflächenharmonik

Kugelflächenharmoniken, auch bekannt als Kugelfunktionen, sind eine Menge von Funktionen, die auf der Oberfläche einer Kugel definiert sind und die Lösungen der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten sind. Sie bilden eine orthogonale Basis für quadratintegrierbare Funktionen auf der Kugeloberfläche.

Mathematisch werden Kugelflächenharmoniken typischerweise durch zwei Quantenzahlen charakterisiert: die Winkelimpulsquantenzahl l, die nicht-negativ ist, und die magnetische Quantenzahl m, die ganzzahlig ist und den Bereich von -l bis l abdeckt. Für jede Kombination von l und m gibt es eine einzigartige Kugelflächenharmonik.

Die Kugelflächenharmoniken lassen sich in reelle und komplexe Formen unterteilen. Die komplexen Kugelflächenharmoniken sind oft einfacher in der mathematischen Behandlung, während die reellen Formen intuitiver interpretiert werden können und in vielen praktischen Anwendungen wie der Gravimetrie und der Magnetik bevorzugt werden.

Die Bedeutung von Kugelflächenharmoniken liegt in ihrer Fähigkeit, beliebige Funktionen auf der Kugeloberfläche als Linearkombination dieser Basisfunktionen darzustellen. Dies ist analog zur Darstellung von Funktionen auf einer Linie durch trigonometrische Reihen (Fourierreihen). Sie finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Physik und Mathematik, darunter Quantenmechanik, Geophysik, Astronomie und Signalverarbeitung. In der Quantenmechanik beschreiben sie beispielsweise die Winkelabhängigkeit von Wellenfunktionen bei kugelförmigen Potenzialen. In der Geophysik werden sie verwendet, um das Gravitations- und Magnetfeld der Erde zu modellieren.