Kreuzproduktregel

Der Kreuzproduktregel, auch als Produktregel des Kreuzprodukts bezeichnet, ist eine Regel der Vektoranalysis zur Ableitung des Kreuzprodukts zweier differenzierbarer Vektorfunktionen. Sie besagt, dass das Ableiten eines Kreuzprodukts der Summe bzw. der Produkteigenschaften des Vektorsystems folgt.

Seien u(t) und v(t) differentiierbare Vektoren in R^3. Dann gilt d/dt (u(t) × v(t)) = u'(t) × v(t) + u(t) × v'(t). Die Gleichung bleibt auch analog gültig, wenn der dieselbe Form mit einem anderen Parameter s verwendet wird: d/ds (u(s) × v(s)) = u'(s) × v(s) + u(s) × v'(s).

Die Regel folgt aus der Bilinearität des Kreuzprodukts, d. h. (a + b) × c = a × c + b × c und a × (b + c) = a × b + a × c, sowie aus der Definition der Ableitung und der Kettenregel. Man erhält sie durch Ausnutzung der Linearität des Differenzierungsoperators gegenüber jeder Größe im Produkt.

Beispiel: Sei u(t) = t a und v(t) = t b mit konstanten Vektoren a, b. Dann gilt u × v = t^2 (a × b) und die Ableitung ist 2t (a × b). Die Kreuzproduktregel liefert ebenfalls d/dt (u × v) = u' × v + u × v' = a × (t b) + (t a) × b = 2t (a × b).

Anwendungen finden sich in der Physik und Technik, insbesondere bei Drehimpuls- bzw. Drehmomentproblemen, Rotationskinematik von starren Körpern sowie in Feldern der Elektromagnetismus, wo Kreuzprodukte häufig auftreten. Die Regel ist eine spezielle Form der Leibnizregel für bilineare Produkte.