Kreuzprodukte

Kreuzprodukte, auch Kreuzprodukt genannt, ist eine binäre Operation zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum. Sie liefert einen Vektor, der senkrecht zu beiden Eingabevektoren steht. Die Länge des Ergebnisses entspricht dem Flächenmaß des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird, also |a × b| = |a||b| sin(θ), wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist. Die Richtung des Ergebnisses ergibt sich aus der Rechtshändigkeit: Wird der Zeigefinger in Richtung von a und der Mittelfinger in Richtung von b gelegt, zeigt der Daumen in Richtung von a × b.

Definition: Sei a = (a1, a2, a3) und b = (b1, b2, b3). Dann ist der Kreuzprodukt a × b = (a2 b3 − a3 b2, a3 b1 − a1 b3, a1 b2 − a2 b1). Das resultierende Vektor ist orthogonal zu a und zu b.

Eigenschaften: Das Kreuzprodukt ist anti-kommutativ (a × b = −(b × a) ) und bilinear (linear in jedem Argument). Es erfüllt Distributivität: a × (b + c) = a × b + a × c. Es ist nicht assoziativ. Das Skalarprodukt mit einem Kreuzprodukt, a · (b × c), ergibt das Volumen des vom a, b und c aufgespannten Parallelepipeds und bleibt bei zyklischen Permutationen unverändert.

Anwendungen und Grenzen: In der Physik dient es zur Berechnung von Drehmomenten und orbitalen Größen wie dem Winkelimpuls. In der Computergrafik wird es genutzt, um Normale zu Oberflächen zu bestimmen. Das Kreuzprodukt ist speziell für den dreidimensionalen Raum definiert; in anderen Dimensionen existieren ähnliche Konstruktionen, zum Beispiel über das äußere Produkt oder spezielle Algebraformen.