Kreuzprodukts

Kreuzprodukt ist der in der Vektoranalysis häufig verwendete binäre Operator, der zwei Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum R^3 zu einem dritten Vektor ergibt, der senkrecht zu den beiden Eingangsvektoren steht. Der Genitiv des Begriffs lautet des Kreuzprodukts.

Für zwei Vektoren a = (a1, a2, a3) und b = (b1, b2, b3) gilt: a × b = (a2 b3 − a3 b2, a3 b1 − a1 b3, a1 b2 − a2 b1). Der resultierende Vektor hat die Richtung gemäß der Rechtshandregel und die Länge |a × b| entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von a und b aufgespannt wird: |a × b| = |a| |b| sin θ, wobei θ der Winkel zwischen a und b ist.

Wesentliche Eigenschaften sind Bilinearität, Antikommutativität (a × b = − b × a) und Orthogonalität zu beiden Eingangsvektoren (a × b) · a = (a × b) · b = 0. Der Kreuzprodukt-Operator erfüllt nicht die Assoziativität, und der Scalar-Triple-Produkt-a × (b × c) ist im Allgemeinen nicht gleich (a × b) × c. Das Vektorprodukt wird häufig in Zusammenhang mit dem Nabla-Operator in der Vektoranalysis verwendet, etwa bei der Rotations- oder Divergenzberechnung.

In höheren Dimensionen existieren andere Verallgemeinerungen, etwa durch äußeres Produkt und Hodge-Stern-Operator; ein direktes, gleichartig definiertes Kreuzprodukt wie in R^3 ist dort nicht allgemein vorhanden. Eine spezielle Form des Kreuzprodukts tritt in R^7 im Zusammenhang mit der Struktur der Oktonionen auf.

Anwendungen finden sich in der Physik (Torque τ = r × F), der Computergraphik (Normalenvektoren), Robotik und Geometrie, wo Orientierung und Flächenberechnungen oft Kreuzprodukte nutzen.